Fórmulas de transformación bidimensional

Las transformaciones bidimensionales son operaciones que cambian la posición, tamaño o forma de un objeto en el plano. Se utilizan en una variedad de aplicaciones, como gráficos por computadora, procesamiento de imágenes y robótica.

Las fórmulas de transformación bidimensional se pueden clasificar en dos categorías principales: transformaciones rígidas y transformaciones no rígidas.

Transformaciones rígidas

Las transformaciones rígidas no cambian la forma del objeto. Las transformaciones rígidas básicas son:

Traslación: Mueve el objeto una distancia determinada en una dirección específica.

P'(x', y') = (x + tx, y + ty)

donde:

P' es el punto transformado
P es el punto original
tx y ty son las distancias de traslación
Rotación: Gira el objeto alrededor de un punto específico.

P'(x', y') = (x * cos θ - y * sin θ, x * sin θ + y * cos θ)

donde:

P' es el punto transformado
P es el punto original
θ es el ángulo de rotación
Escalamiento: Cambia el tamaño del objeto.

P'(x', y') = (x * sx, y * sy)

donde:

P' es el punto transformado
P es el punto original
sx y sy son los factores de escala

Transformaciones no rígidas

Las transformaciones no rígidas cambian la forma del objeto. Las transformaciones no rígidas básicas son:

Afinación: Cambia el tamaño, la posición y la orientación del objeto.

P'(x', y') = (ax + b, ay + c)

donde:

P' es el punto transformado
P es el punto original
a, b y c son los parámetros de afinación
Deformación: Cambia la forma del objeto de una manera no lineal.

P'(x', y') = f(x, y)

donde:

P' es el punto transformado
P es el punto original
f(x, y) es una función que define la deformación

Sintaxis

Las fórmulas de transformación bidimensional se pueden escribir en forma vectorial o matricial.

En forma vectorial, las transformaciones se representan como un vector de transformación que se multiplica por el vector de coordenadas del punto original.

P' = T * P

donde:

P' es el punto transformado
T es el vector de transformación
P es el punto original

En forma matricial, las transformaciones se representan como una matriz de transformación que se multiplica por el vector de coordenadas del punto original.

P' = M * P

donde:

P' es el punto transformado
M es la matriz de transformación
P es el punto original

Las operaciones básicas de transformación son:

Escalamiento

Modifica el tamaño de un polígono. Para obtener este efecto, se multiplica par de coordenado (x,y) por un factor de escala en la dirección x y en la dirección y para obtener el par(x',y')

Una transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de escalación s x y s y para producir las coordenadas transformadas (x’, y’ )

De esta forma seria el ejemplo: P'(x', y') = (x * 2, y * 3)

Rotación

Al aplicar una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. Para generar una rotación, especificamos un Angulo de rotación 0 y la posición ( x r, y r) del punto de rotación en torno al cual se gira el objeto.

De esta forma seria el ejemplo: P'(x', y') = (x * cos(45°) - y * sin(45°), x * sin(45°) + y * cos(45°))

Traslación

Es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. Se traslada cada punto P(x,y) dx unidades paralelamente al eje x y dy unidades paralelamente al eje y, hacia el nuevo punto p'(x',y').

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty la posición de coordenadas original (x,y)